冰雹猜想（又称考拉兹猜想、3n+1猜想）是一个看似简单却尚未被严格证明的数学难题。其核心规则如下：

‌初始条件‌：任意选择一个正整数作为起始数字‌。 ‌迭代规则‌： 若当前数为‌偶数‌，则除以2； 若当前数为‌奇数‌，则乘以3再加1‌。 ‌终止条件‌：重复上述操作直至数字变为1，随后进入4→2→1的无限循环 关键特性 ‌普遍性‌：已验证的起始数字范围（如2^68以下）均满足该猜想，但数学界尚未证明所有正整数均符合‌。 ‌循环性‌：最终必然收敛至1，并陷入4→2→1的循环，类似冰雹下落轨迹‌。 ‌复杂性‌：部分数字（如27）需极多步骤（111步）和极大峰值（9232）才收敛‌‌

$$\sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$$$\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$$$\sum_{k=0}^n (a + kd) = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + (a+nd) = \frac{(n+1)(2a + nd)}{2} $$$$\sum_{k=0}^\infty ar^k = a + ar + ar^2 + \cdots = \frac{a}{1 - r} $$$$\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x$$ $$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin x $$$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = \cos x $$$$\int_a^b f(x) , dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left( a + i \cdot \frac{b-a}{n} \right) \cdot \frac{b-a}{n} $$$$E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$$ $$\text{Var}(X) = \sum_{x} (x - E[X])^2 \cdot P(X = x) $$$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij} $$$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i f(i,j) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=j}^n f(i,j) $$